Большая советская энциклопедия - общий интеграл

Общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения F (x, у, у',..., y (n)) =0 — соотношение F(х, у, C1,..., Cn) =0, содержащее и существенных произвольных постоянных C1,..., Cn, следствием которого является данное дифференциальное уравнение (см. Дифференциальные уравнения). Иными словами, это уравнение должно представлять собой результат исключения постоянных C1 (i = 1,..., n) из уравнений: , (*) причем эти постоянные существенны в том смысле, что процесс исключения их из системы (*) не может привести к дифференциальному уравнению, отличному от данного. О. и. тесно связан с общим решением. Если постоянным Ci, входящим в О. и., дать определенные значения, то получим частый интеграл. Неполное исключение постоянных Ci из системы (*) приводит к промежуточному интегралу Fk (х, у, у',..., у (n-k)), C1,..., Ck = 0 (где 1 ? k ? n—1); в частности, при k = 1— к первому интегралу. Геометрически О. и. представляет n-параметрическое семейство интегральных кривых. Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.